Proporcije

Uvod

Kada dva omjera imaju istu vrijednost, mogu tvoriti proporciju. Proporcija je jednadžba koja pokazuje da su dva omjera jednaka.

Na primjer, omjer krugova i trokuta je isti u oba skupa oblika prikazanih dolje. Prvi omjer je 1 krug na svaka 2 trokuta, ili $\frac{1}{2}$. Drugi omjer je 2 kruga na svaka 4 trokuta, ili $\frac{2}{4}$.

Dakle, omjeri $\frac{1}{2}$ i $\frac{2}{4}$ mogu tvoriti proporciju $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

Evo još nekih primjera proporcija:

$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

$4:5 = 8:10$

---

Proporcionalne veličine

Primjer 1.

Ako se broj stranica poveća pet puta, i vrijeme ispisa povećat će se pet puta.

Ako se broj stranica smanji dva puta, i vrijeme ispisa smanjit će se dva puta.

Koliko se puta poveća (smanji) broj stranica, toliko se puta poveća (smanji) vrijeme ispisa.

Kažemo da su broj stranica i vrijeme ispisa proporcionalne veličine.

Definicija: Koliko se puta poveća jedna veličina, toliko se puta poveća druga veličina. Koliko se puta smanji jedna veličina, toliko se puta smanji druga veličina. Takve se veličine nazivaju PROPORCIONALNE VELIČINE.

---

Koeficijent proporcionalnosti

Ako su veličine y i x proporcionalne, onda je količnik njihovih vrijednosti $\frac{y}{x}$ uvijek isti broj $k \neq 0$, tj. vrijedi:

$\frac{y}{x} = k$

Taj broj k naziva se KOEFICIJENT PROPORCIONALNOSTI veličine y u odnosu na veličinu x.

---

Primjer 2.

x... vrijeme potrebno za ispis (min)	1	2	5	10
y... broj ispisanih stranica	15	30	75	150

Primijetimo da je:

$\frac{y}{x} = \frac{15}{1} = \frac{30}{2} = \frac{75}{5} = \frac{150}{10} = 15$

Količnik $\frac{y}{x}$ broja ispisanih stranica (y) i vremena potrebnog za ispis (x) konstantan je i jednak 15. On nam govori da pisač u 1 minuti ispiše 15 stranica.

Taj se broj naziva koeficijent proporcionalnosti veličine y u odnosu na veličinu x. On je jednak količniku $\frac{y}{x}$ bilo kojih pridruženih vrijednosti:

$\frac{y}{x} = \frac{k}{1} = \frac{2k}{2} = \frac{3k}{3} = ... = k$

---

Objašnjenje 1.

Devet markera košta 11,50 €. Koliko košta 7 markera?

Rješenje

Ne znamo koliko košta 7 markera i njih ćemo označiti nepoznatom.

$x = \text{cijena 7 markera}$

Moramo postaviti dva omjera da budu jednaki jedan drugome. Možemo reći da je omjer devet markera jednak cijeni 9 markera. Postavljamo zadatak tako da postavimo omjer količine 9 markera i njihove cijene da bude jednak omjeru 7 markera i njihove cijene.

$\frac{9}{11,50} = \frac{7}{x}$

Cijena 7 markera je 8,94 €.

---

Objašnjenje 2.

Sedam jabuka košta 5 €. Koliko jabuka možemo kupiti sa 8 €?

Rješenje

$x = \text{koliko jabuka}$

Postavljamo omjer između broja jabuka i cijene jabuka. Bit će jednak omjeru između nepoznatog broja jabuka (x) i cijene 8 €.

$\frac{7}{5} = \frac{x}{8}$

Možemo kupiti 11,2 jabuka (odnosno 11 jabuka).

---

Objašnjenje 3.

Recept za kolač za 5 osoba zahtijeva 2 jaja. Koliko jaja trebamo za kolač za 15 osoba?

Rješenje

$x = \text{koliko jaja}$

Postavljamo prvi omjer osoba i jaja da je jednak drugom omjeru 15 osoba i x nepoznatih jaja.

$\frac{5}{2} = \frac{15}{x}$

Trebamo 6 jaja.

---

Objašnjenje 4.

Recept za zobene kolačiće zahtijeva 2 šalice brašna na svake 3 šalice zobenih pahuljica. Koliko brašna treba za veliku količinu kolačića koja koristi 9 šalica zobenih pahuljica?

Rješenje

Korak 1. Postavimo proporciju.

$\frac{2}{3} = \frac{x}{9}$

Treba 6 šalica brašna.

---

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Marko je vozeći bicikl za 2 sata prešao put duljine 30 km. Koliki bi put Marko prešao za 5 sati ako bi vozio jednakom brzinom?

---

Zadatak 2.

Ana je trčeći za 0,5 sati pretrčala 4 km. Koliko bi joj vremena trebalo za put duljine 10 km ako bi trčala istim tempom?

---

Zadatak 3.

Vlak je za 3 sata prešao udaljenost od 210 km.

a) Kolika je prosječna brzina vlaka?

b) Koliku će udaljenost vlak prijeći za 5 sati?

c) Koliko vremena treba vlaku da prijeđe 350 km?

---

Zadatak 4.

U mjenjačnici je Alen za 100 € platio 753 kn.

a) Koliko se kuna u toj mjenjačnici dobije za 1 €?

b) Koliko će Alen platiti za 250 €?

c) Koliko eura Alen može kupiti za 6024 kn?

---

Zadatak 5.

U mjenjačnici za 1 € dobije se 1,10 $ (američki dolar).

a) Koliko dolara se dobije za 50 €?

b) Koliko eura treba platiti ako se želi kupiti 220 $?

c) Koliko se dolara može kupiti za 350 €?

---

Zadatak 6.

Za pripremu tijesta za 4 osobe potrebno je 300 g brašna. Koliko brašna treba za pripremu tijesta za 10 osoba?

---

Zadatak 7.

Stup visine 6 m baca sjenu duljine 4 m. Koliko je visoko drvo koje istodobno baca sjenu duljine 10 m?

---

Zadatak 8.

Zgrada visoka 25 m baca sjenu duljine 20 m.

a) Koliki je koeficijent proporcionalnosti?

b) Koliku sjenu istodobno baca kuća visoka 10 m?

c) Koliko je visok toranj koji baca sjenu od 36 m?

---

Zadatak 9.

Stroj proizvede 120 dijelova za 8 sati.

a) Koliko dijelova stroj proizvede u 1 satu?

b) Koliko dijelova će stroj proizvesti za 12 sati?

c) Za koje vrijeme će stroj proizvesti 300 dijelova?

---

Rješenja

Zadatak 1.

75 km

Zadatak 2.

1 h 15 min

Zadatak 3.

a) $v = \frac{210}{3} = \textbf{70 km/h}$

b) $s = 70 \cdot 5 = \textbf{350 km}$

c) $t = \frac{350}{70} = \textbf{5 sati}$

Zadatak 4.

a) $k = \frac{753}{100} = \textbf{7,53 kn/€}$

b) $y = 7,53 \cdot 250 = \textbf{1882,50 kn}$

c) $x = \frac{6024}{7,53} = \textbf{800 €}$

Zadatak 5.

a) $y = 1,10 \cdot 50 = \textbf{55}$

b) $x = \frac{220}{1,10} = \textbf{200 €}$

c) $y = 1,10 \cdot 350 = \textbf{385}$

Zadatak 6.

750 g

Zadatak 7.

15 m

Zadatak 8.

a) $k = \frac{25}{20} = \textbf{1,25}$

b) $\text{sjena} = \frac{10}{1,25} = \textbf{8 m}$

c) $\text{visina} = 1,25 \cdot 36 = \textbf{45 m}$

Zadatak 9.

a) $k = \frac{120}{8} = \textbf{15 dijelova/h}$

b) $y = 15 \cdot 12 = \textbf{180 dijelova}$

c) $t = \frac{300}{15} = \textbf{20 sati}$