Graf linearne ovisnosti
Pokazat ćemo kako zadanu linearnu ovisnost možemo grafički prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.
Za linearnu ovisnost zadanu formulom y = 2x − 1 odaberimo nekoliko vrijednosti nezavisne veličine x te izračunajmo odgovarajuće vrijednosti zavisne veličine y, pa rezultate prikažimo u tablici.
Primijetimo da ucrtane točke pripadaju istome pravcu. Tako bismo mogli dobiti beskonačno mnogo točaka i sve bi one pripadale tomu pravcu.
Taj se pravac naziva graf linearne ovisnosti y = 2x − 1.
Za taj pravac kažemo da ima jednadžbu y = 2x − 1, tj. da je y = 2x − 1 jednadžba toga pravca.
GRAF LINEARNE OVISNOSTI y = ax + b u koordinatnoj ravnini jest PRAVAC.
Koordinate točaka toga pravca zadovoljavaju jednadžbu y = ax + b pa se ta jednadžba naziva JEDNADŽBA PRAVCA.
Objašnjenje 1.
Nacrtaj graf linearne ovisnosti y = 3x + 2.
Korak 1. Odaberemo dvije vrijednosti za x.
Korak 2. Dobili smo dvije točke: A(0, 2) i B(2, 8).
Korak 3. Ucrtamo točke u koordinatni sustav i povučemo pravac kroz njih.
Objašnjenje 2.
Zadan je pravac y = 2x + 1.
a) Pripadaju li točke A(2, 5) i B(3, 4) tomu pravcu?
Točka A(2, 5):
Uvrstimo koordinate točke A(2, 5) u jednadžbu y = 2x + 1.
5 = 2 · 2 + 1 = 4 + 1 = 5 ✓
Dobit ćemo 5 = 5 što je točna jednakost pa mu ta točka pripada.
Točka B(3, 4):
Uvrstimo koordinate točke B(3, 4) u jednadžbu y = 2x + 1.
4 = 2 · 3 + 1 = 6 + 1 = 7 ✗
Dobit ćemo netočnu jednakost 4 ≠ 7.
Koordinate točke B(3, 4) ne zadovoljavaju jednadžbu pravca y = 2x + 1 pa mu ona ne pripada.
b) Odredi x i y tako da točke (4, y) i (x, 9) pripadaju zadanomu pravcu.
Točka (4, y):
Ako točka (4, y) pripada pravcu y = 2x + 1, onda njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu pravca.
Uvrstimo njezine koordinate u y = 2x + 1:
y = 2 · 4 + 1 = 8 + 1 = 9
Točka (x, 9):
Uvrstimo koordinate točke (x, 9) u jednadžbu pravca y = 2x + 1:
9 = 2x + 1
9 − 1 = 2x
8 = 2x
x = 4
Objašnjenje 3.
Nacrtajmo u istoj koordinatnoj ravnini pravce čije su jednadžbe y₁ = x + 3 i y₂ = 3x − 1.
a) U kojoj se točki sijeku ti pravci?
Ako se pravci sijeku u točki S(x, y), onda koordinate te točke zadovoljavaju jednadžbe obaju pravaca, tj. y₁ = x + 3 i y₂ = 3x − 1.
Iz x + 3 = 3x − 1 slijedi:
x + 3 = 3x − 1
3 + 1 = 3x − x
4 = 2x
x = 2
Onda je y₁ = 2 + 3 = 5.
Dakle, sjecište pravaca jest točka S(2, 5).
b) Za koje x je y₁ > y₂, a za koje je y₁ < y₂?
Sa slike vidimo da je lijevo od sjecišta y₁ > y₂ (prvi je pravac iznad drugoga pravca), a desno od sjecišta je y₁ < y₂ (prvi je pravac ispod drugoga pravca).
To znači da je:
- y₁ > y₂ za x < 2
- y₁ < y₂ za x > 2
Zadaci za vježbu
Zadatak 1.
a) Nacrtaj graf linearne ovisnosti y = 2x − 3.
b) Nacrtaj graf linearne ovisnosti y = −x + 4.
Zadatak 2.
Zadan je pravac y = 3x − 2.
a) Pripadaju li točke A(3, 7) i B(2, 5) tomu pravcu?
b) Odredi x i y tako da točke (5, y) i (x, 13) pripadaju zadanomu pravcu.
Zadatak 3.
Zadan je pravac y = −2x + 10.
a) Pripadaju li točke A(3, 4) i B(4, 3) tomu pravcu?
b) Odredi x i y tako da točke (2, y) i (x, 0) pripadaju zadanomu pravcu.
Zadatak 4.
Nacrtajmo u istoj koordinatnoj ravnini pravce čije su jednadžbe y₁ = x + 1 i y₂ = 2x − 2.
a) U kojoj se točki sijeku ti pravci?
b) Za koje x je y₁ > y₂, a za koje je y₁ < y₂?
Zadatak 5.
Nacrtajmo u istoj koordinatnoj ravnini pravce čije su jednadžbe y₁ = 2x + 6 i y₂ = −x + 3.
a) U kojoj se točki sijeku ti pravci?
b) Za koje x je y₁ > y₂, a za koje je y₁ < y₂?
Rješenja
Zadatak 1.
a) y = 2x − 3
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y | −3 | 1 |
Točke: A(0, −3) i B(2, 1)
b) y = −x + 4
| x | 0 | 4 |
|---|---|---|
| y | 4 | 0 |
Točke: A(0, 4) i B(4, 0)
Zadatak 2.
a)
- A(3, 7): 7 = 3 · 3 − 2 = 9 − 2 = 7 ✓ Pripada
- B(2, 5): 5 = 3 · 2 − 2 = 6 − 2 = 4 ✗ Ne pripada
b)
- (5, y): y = 3 · 5 − 2 = 15 − 2 = 13
- (x, 13): 13 = 3x − 2 → 15 = 3x → x = 5
Zadatak 3.
a)
- A(3, 4): 4 = −2 · 3 + 10 = −6 + 10 = 4 ✓ Pripada
- B(4, 3): 3 = −2 · 4 + 10 = −8 + 10 = 2 ✗ Ne pripada
b)
- (2, y): y = −2 · 2 + 10 = −4 + 10 = 6
- (x, 0): 0 = −2x + 10 → 2x = 10 → x = 5
Zadatak 4.
a) Sjecište: x + 1 = 2x − 2 → 1 + 2 = 2x − x → 3 = x → y = 3 + 1 = 4
Sjecište: S(3, 4)
b)
- y₁ > y₂ za x < 3
- y₁ < y₂ za x > 3
Zadatak 5.
a) Sjecište: 2x + 6 = −x + 3 → 2x + x = 3 − 6 → 3x = −3 → x = −1 → y = 2 · (−1) + 6 = 4
Sjecište: S(−1, 4)
b)
- y₁ > y₂ za x > −1
- y₁ < y₂ za x < −1
