Obrnuto proporcionalne veličine
Uvod
Ako se broj radnika poveća dva puta, vrijeme obavljanja posla smanjit će se dva puta.
Ako se broj radnika smanji dva puta, vrijeme obavljanja posla povećat će se dva puta.
Koliko se puta poveća (smanji) broj radnika, toliko se puta smanji (poveća) potrebno vrijeme.
Kažemo da su broj radnika i vrijeme obavljanja posla obrnuto proporcionalne veličine.
Definicija: Koliko se puta poveća jedna veličina, toliko se puta smanji druga veličina. Koliko se puta smanji jedna veličina, toliko se puta poveća druga veličina. Takve se veličine nazivaju OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE.
Objašnjenje 1. Osnovni primjer
Osam radnika pobere grožđe u vinogradu za 12 sati. Za koliko bi sati u istom vinogradu grožđe pobralo 6 radnika?
Rješenje
Broj radnika i vrijeme potrebno za berbu su obrnuto proporcionalne veličine.
Zašto? Jer:
- Više radnika → manje vremena
- Manje radnika → više vremena
Postavljamo proporcije:
8 radnika → 12 sati
6 radnika → x sati
Kod obrnute proporcionalnosti vrijedi:
8 · 12 = 6 · x
96 = 6 · x
x = 96 : 6
x = 16
Za berbu grožđa 6 radnika trebalo bi 16 sati.
Objašnjenje 2. Zadatak sa strojevima
U tvornici 12 strojeva proizvede dnevnu normu za 6 sati rada. Koliko je strojeva potrebno da se ista norma proizvede za 4 sata, ako se 3 stroja pokvare?
Rješenje
Korak 1. Broj strojeva i vrijeme rada su obrnuto proporcionalne veličine.
Zašto? Jer:
- Više strojeva → manje vremena
- Manje strojeva → više vremena
Korak 2. Koeficijent obrnute proporcionalnosti jednak je umnošku x · y.
k = x · y = 12 strojeva · 6 sati = 72
Što znači broj 72? To je ukupan broj "stroj-sati" potreban za proizvodnju dnevne norme, odnosno toliko sati bi jednom stroju trebalo da sam proizvede cijelu normu.
Korak 3. Broj strojeva potreban za 4 sata.
Ako znamo da je x · y = k, onda možemo izračunati broj strojeva (x) za 4 sata (y):
x · 4 = 72
x = 72 : 4
x = 18 strojeva
Korak 4. Potrebno je 18 strojeva za rad, ali 3 stroja su pokvarena.
Koliko ukupno strojeva tvornica mora imati?
18 + 3 = 21 stroj
Tvornica mora imati ukupno 21 stroj.
Objašnjenje 3. Zadatak s prekidom rada
Za izgradnju zida 15 radnika treba 8 dana. Nakon 3 dana rada, 5 radnika se razboli. Za koliko dana će preostali radnici završiti zid?
Rješenje
Korak 1. Izračunaj koeficijent.
k = 15 · 8 = 120 radnik-dana
Korak 2. Koliko posla je obavljeno u prva 3 dana?
15 · 3 = 45 radnik-dana
Korak 3. Koliko posla je preostalo?
120 − 45 = 75 radnik-dana
Korak 4. Koliko radnika nastavlja raditi?
15 − 5 = 10 radnika
Korak 5. Za koliko dana će 10 radnika završiti preostali posao?
10 · y = 75
y = 75 : 10
y = 7,5 dana
Preostalih 10 radnika završit će zid za 7,5 dana (ili 7 dana i 12 sati).
Objašnjenje 4. Složeni zadatak s pumpama
Tri pumpe mogu isprazniti jezero za 12 sati. Nakon 4 sata rada, jedna pumpa se pokvari. Preostale dvije pumpe nastave raditi, ali nakon još 2 sata dodana je jedna nova pumpa. Za koliko ukupno sati će jezero biti ispražnjeno?
Rješenje
Korak 1. Ukupan posao.
k = 3 · 12 = 36 pumpa-sati
Korak 2. Posao u prvih 4 sata (3 pumpe).
3 · 4 = 12 pumpa-sati
Korak 3. Posao u sljedeća 2 sata (2 pumpe).
2 · 2 = 4 pumpa-sati
Korak 4. Preostali posao.
36 − 12 − 4 = 20 pumpa-sati
Korak 5. Vrijeme potrebno za 3 pumpe (2 + 1 nova) da završe preostali posao.
3 · y = 20
y = 20 : 3
y = 6⅔ sati ≈ 6 h 40 min
Korak 6. Ukupno vrijeme.
4 + 2 + 6⅔ = 12⅔ sati ≈ 12 sati i 40 minuta
Zadaci za vježbu
Zadatak 1.
Pet radnika može obojiti zgradu za 12 dana. Za koliko dana bi istu zgradu obojilo 10 radnika?
Zadatak 2.
Bazen se puni vodom kroz 6 cijevi za 4 sata. Za koliko sati će se isti bazen napuniti ako se koristi samo 3 cijevi?
Zadatak 3.
Automobil brzinom 60 km/h prijeđe put za 3 sata. Za koliko sati će isti put prijeći ako vozi brzinom 90 km/h?
Zadatak 4.
Za prijevoz robe potrebno je 8 kamiona nosivosti 5 tona. Koliko je potrebno kamiona nosivosti 4 tone za prijevoz iste robe?
Zadatak 5.
Zalihe hrane u planinarskom domu dovoljne su za 15 planinara za 8 dana. Za koliko dana će iste zalihe potrošiti 20 planinara?
Zadatak 6.
U tvornici 9 strojeva proizvede određenu količinu proizvoda za 8 sati. Koliko strojeva treba raditi da se ista količina proizvede za 6 sati?
Zadatak 7.
Za kopanje kanala 18 radnika treba 10 dana. Nakon 4 dana rada pridružilo im se još 6 radnika. Za koliko će dana sada biti završen kanal?
Zadatak 8.
Tri pumpe mogu isprazniti bazen za 8 sati. Nakon 2 sata rada jedna pumpa se pokvari. Za koliko ukupno sati će bazen biti ispražnjen?
Zadatak 9.
Grupa od 20 radnika planira završiti posao za 15 dana. Nakon 5 dana rada, 4 radnika su se razboljela. Za koliko dana će preostali radnici završiti posao?
Zadatak 10.
Za žetvu pšenice 6 kombajna treba 12 dana radeći 8 sati dnevno. Za koliko dana će žetvu završiti 8 kombajna ako rade 9 sati dnevno?
Rješenja
Zadatak 1.
k = 5 · 12 = 60
10 · x = 60
x = 6 dana
Zadatak 2.
k = 6 · 4 = 24
3 · x = 24
x = 8 sati
Zadatak 3.
k = 60 · 3 = 180 km
90 · x = 180
x = 2 sata
Zadatak 4.
k = 8 · 5 = 40 tona
x · 4 = 40
x = 10 kamiona
Zadatak 5.
k = 15 · 8 = 120
20 · x = 120
x = 6 dana
Zadatak 6.
k = 9 · 8 = 72
x · 6 = 72
x = 12 strojeva
Zadatak 7.
k = 18 · 10 = 180 radnik-dana
Obavljeno u 4 dana: 18 · 4 = 72 radnik-dana
Preostalo: 180 − 72 = 108 radnik-dana
Novi broj radnika: 18 + 6 = 24 radnika
24 · x = 108 → x = 4,5 dana
Kanal će biti završen za ukupno 8,5 dana (8 dana i 12 sati), odnosno 4,5 dana nakon što su se pridružili novi radnici.
Zadatak 8.
k = 3 · 8 = 24 pumpa-sati
Obavljeno u 2 sata: 3 · 2 = 6 pumpa-sati
Preostalo: 24 − 6 = 18 pumpa-sati
Preostale pumpe: 2
2 · x = 18 → x = 9 sati
Ukupno: 2 + 9 = 11 sati
Zadatak 9.
k = 20 · 15 = 300 radnik-dana
Obavljeno u 5 dana: 20 · 5 = 100 radnik-dana
Preostalo: 300 − 100 = 200 radnik-dana
Preostali radnici: 20 − 4 = 16
16 · x = 200 → x = 12,5 dana
Preostali radnici završit će posao za 12,5 dana (12 dana i 12 sati).
Ukupno vrijeme od početka: 5 + 12,5 = 17,5 dana
Zadatak 10.
Ukupan posao: 6 · 12 · 8 = 576 kombajn-sati
Novi uvjeti: 8 kombajna · 9 sati · x dana = 576
72 · x = 576
x = 8 dana
