Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom

Uvod

Neke jednadžbe imaju varijablu. Varijabla je slovo koje predstavlja nepoznati broj. Evo nekih jednadžbi s varijablama:

• k + 9 = 32
• 15 – y = 3
• 270 = 9n
• t/6 = 17

---

Kako pronaći rješenje jednadžbe?

Da bismo pronašli rješenje jednadžbe s varijablom, moramo pronaći vrijednost varijable koja čini jednadžbu istinitom.

Primjer: Rješenje jednadžbe 2 + x = 8 je x = 6. Zamjena x brojem 6 čini jednadžbu istinitom.

2 + x = 8

2 + 6 = 8 ✓

---

Jednadžbe koje se rješavaju u jednom koraku

Ako imaš jednadžbu sa zbrajanjem ili oduzimanjem, možeš primijeniti inverznu (obrnutu) operaciju na obje strane jednadžbe kako bi varijabla ostala sama. Zbrajanje i oduzimanje su inverzne operacije.

---

Objašnjenje 1. Jednadžba s oduzimanjem

Riješimo k – 19 = 51. Jednadžba ima oduzimanje. Koristimo inverznu operaciju – zbrajanje.

k – 19 = 51

k – 19 $\textcolor{red}{+ 19}$ = 51 $\textcolor{red}{+ 19}$ → Dodaj 19 na obje strane jednadžbe.

k = 70

Provjera: Uzmi originalnu jednadžbu i zamijeni varijablu svojim rješenjem. Ako je jednadžba istinita, tvoje rješenje je točno!

70 – 19 = 51

51 = 51 ✓ Ovo je istina, dakle k = 70 je rješenje.

---

Objašnjenje 2. Jednadžba sa zbrajanjem

Pokušajmo s još jednim primjerom. Riješimo p + 48 = 71. Koristimo inverznu operaciju – oduzimanje.

p + 48 = 71

p + 48 $\textcolor{red}{– 48}$ = 71 $\textcolor{red}{– 48}$ → Oduzmi 48 s obje strane jednadžbe.

p = 23

Provjera: Uzmi originalnu jednadžbu i zamijeni varijablu svojim rješenjem. Ako je jednadžba istinita, tvoje rješenje je točno.

23 + 48 = 71

71 = 71 ✓ Ovo je istina, dakle p = 23 je rješenje.

---

Objašnjenje 3. Jednadžba s nepoznanicom na obje strane

5x + 3 = 2x + 12

Korak 1. Skupi sve članove s x na jednu stranu

Imamo x-eve na obje strane. Prebacimo 2x na lijevu stranu tako da oduzmemo 2x s obje strane:

5x + 3 = 2x + 12

5x + 3 $\textcolor{red}{– 2x}$ = 2x + 12 $\textcolor{red}{– 2x}$

3x + 3 = 12

Korak 2. Prebaci brojeve na drugu stranu

Sada prebacimo broj 3 na desnu stranu tako da oduzmemo 3 s obje strane:

3x + 3 = 12

3x + 3 $\textcolor{red}{– 3}$ = 12 $\textcolor{red}{– 3}$

3x = 9

Korak 3. Podijeli da dobiješ x

Varijabla x je pomnožena s 3, pa podijelimo obje strane s 3:

3x = 9

3x $\textcolor{red}{÷ 3}$ = 9 $\textcolor{red}{÷ 3}$

x = 3

Provjera rješenja:

Uvrstimo x = 3 u originalnu jednadžbu:

• Lijeva strana: 5 · 3 + 3 = 15 + 3 = 18
• Desna strana: 2 · 3 + 12 = 6 + 12 = 18

18 = 18 ✓

Obje strane su jednake, dakle x = 3 je točno rješenje!

---

Objašnjenje 4. Jednadžba sa zagradama

4x + (6 – 3x) = 10

Najprije se treba osloboditi zagrada. Pri tome slijedimo pravila:

• Ako je ispred zagrade +, zagrade se brišu, a brojevi u zagradama ostaju nepromijenjeni
• Ako je ispred zagrade –, zagrade se brišu, a brojevi u zagradama mijenjaju predznak

Korak 1. Makni zagrade (ispred je +, predznaci ostaju isti)

4x + (6 – 3x) = 10

4x + 6 – 3x = 10

Korak 2. Spoji slične članove (x-eve zajedno)

$\textcolor{red}{4x}$ – $\textcolor{red}{3x}$ + 6 = 10

x + 6 = 10

Korak 3. Prebaci broj 6 na desnu stranu

x = 10 – 6

x = 4

Provjera:

4 · 4 + (6 – 3 · 4) = 10

16 + (6 – 12) = 10

16 + (–6) = 10

16 – 6 = 10

10 = 10 ✓

---

Objašnjenje 5. Jednadžba sa zagradom u zagradi

3x – [2x – 4(x + 2) – 1] = 5

Kada se u zadatku pojavi zagrada u zagradi, oslobađamo ih se postupno, od unutarnje prema vanjskoj.

Korak 1. Riješi UNUTARNJU zagradu (oblu)

3x – [2x – 4 $\textcolor{red}{(}$x + 2 $\textcolor{red}{)}$ – 1] = 5

3x – [2x – $\textcolor{red}{4x}$– $\textcolor{red}{8}$ – 1] = 5

Korak 2. Spoji slične članove unutar uglate zagrade

3x – [ $\textcolor{red}{2x}$ – $\textcolor{red}{4x}$ $\textcolor{green}{-8-1}$] = 5

3x – [ $\textcolor{red}{-2x}$ $\textcolor{green}{-9}$] = 5

Korak 3. Riješi VANJSKU zagradu (uglatu)

Sada makni uglatu zagradu (ispred je minus, predznaci se mijenjaju!):

3x – $\textcolor{red}{[}$–2x – 9$\textcolor{red}{]}$ = 5

3x + $\textcolor{red}{2x}$ + $\textcolor{red}{9}$ = 5

Korak 4. Riješi jednadžbu

3x + 2x + 9 = 5

5x + 9 = 5

5x = 5 – 9

5x = –4

x = –4/5

x = –0,8

Provjera:

3 · (–0,8) – [2 · (–0,8) – 4((–0,8) + 2) – 1] = 5

–2,4 – [–1,6 – 4 · 1,2 – 1] = 5

–2,4 – [–1,6 – 4,8 – 1] = 5

–2,4 – [–7,4] = 5

–2,4 + 7,4 = 5

5 = 5 ✓

---

Objašnjenje 6. Jednadžba s razlomcima

3x + 1/2 = 5/4

Lijevu i desnu stranu jednadžbe treba pomnožiti najmanjim zajedničkim višekratnikom (NZV) svih nazivnika koji se u njoj pojavljuju. Time se "oslobodimo" razlomaka.

Korak 1. Pronađi NZV svih nazivnika

Nazivnici su: 2 i 4

NZV(2, 4) = 4

Korak 2. Pomnoži CIJELU jednadžbu s NZV (broj 4)

3x + 1/2 = 5/4 $\textcolor{red}{/· 4}$

$\textcolor{red}{4}$ · 3x + $\textcolor{red}{4·}$ 1/2 = $\textcolor{red}{4·}$ 5/4

Korak 3. Pojednostavi svaki član

12x + 2 = 5

• 4 · 3x = 12x
• 4 · 1/2 = 4/2 = 2
• 4 · 5/4 = 20/4 = 5

Korak 4. Riješi jednadžbu

12x + 2 = 5

12x = 5 – 2

12x = 3

x = 3/12

x = 1/4

Provjera:

3 · 1/4 + 1/2 = 5/4

3/4 + 2/4 = 5/4

5/4 = 5/4 ✓

---

Zadaci za vježbu

Zadatak 1. Jednostavne jednadžbe

a) x + 7 = 15

b) y – 4 = 12

c) m + 23 = 50

d) n – 18 = 7

e) 45 = k + 12

---

Zadatak 2. Jednadžbe s množenjem i dijeljenjem

a) 2x + 5 = 17

b) 3y – 8 = 13

c) 4m + 7 = 31

d) 5n – 12 = 28

e) 6k + 9 = 45

---

Zadatak 3. Složenije jednadžbe

a) 4(y – 3) = 20

b) 2x + (x – 4) = 11

c) 5y – [3y – 2(y – 1)] = 8

d) 3m – [m – (2m + 4) – 2] = 14

e) x/2 + x/3 = 10

f) (3/4)y – 1/2 = (1/2)y + 1

g) 5(y + 2) – 3(y – 1) = 17

h) (x + 1)/2 + (x – 1)/3 = 3

---

Rješenja

Zadatak 1.

a) x = 8

b) y = 16

c) m = 27

d) n = 25

e) k = 33

---

Zadatak 2.

a) x = 6

b) y = 7

c) m = 6

d) n = 8

e) k = 6

---

Zadatak 3.

a) y = 8

b) x = 5

c) y = 5/2 = 2,5

d) m = 2

e) x = 12

f) y = 6

g) y = 2

h) x = 17/5 = 3,4

---

Problemski zadaci

Problemski zadaci su zadaci iz svakodnevnog života koji se rješavaju pomoću jednadžbi. Tekst zadatka moramo "prevesti" u matematički jezik – napisati jednadžbu i riješiti je.

Objašnjenje 1. Zadatak o godinama

Tata je 4 puta stariji od svoje kćeri. Ako je zbroj njihovih godina 45, koliko godina ima kći, a koliko tata?

Korak 1. Označimo nepoznanice

• Kćerine godine = x
• Tatine godine = 4x (jer je 4 puta stariji)

Korak 2. Prevedimo tekst u jednadžbu

Kćerine godine + Tatine godine = 45

x + 4x = 45

Korak 3. Riješimo jednadžbu

x + 4x = 45

5x = 45

x = 45 ÷ 5

x = 9

Korak 4. Izračunajmo tatine godine

Tatine godine = 4x = 4 · 9 = 36

Provjera:

9 + 36 = 45

45 = 45 ✓

Je li tata 4 puta stariji? 36 ÷ 9 = 4 ✓

Odgovor: Kći ima 9 godina, a tata ima 36 godina.

---

Objašnjenje 2. Zadatak o novcu

Ana i Iva zajedno imaju 56 eura. Ana ima 8 eura više od Ive. Koliko novca ima svaka djevojka?

Korak 1. Označimo nepoznanice

• Ivin novac = x
• Anin novac = x + 8 (jer ima 8 eura više)

Korak 2. Prevedimo tekst u jednadžbu

Ivin novac + Anin novac = 56

x + (x + 8) = 56 Korak 3. Riješimo jednadžbu

x + x + 8 = 56

2x + 8 = 56

2x = 56 – 8

2x = 48

x = 48 ÷ 2

x = 24

Korak 4. Izračunajmo Anin novac

Anin novac = x + 8 = 24 + 8 = 32

Provjera:

24 + 32 = 56 ✓

32 – 24 = 8 ✓ (Ana ima 8 € više)

Odgovor: Iva ima 24 eura, a Ana ima 32 eura.

---

Objašnjenje 3. Zadatak o opsegu i površini

Marko želi ograditi pravokutni vrt žicom. Ima 36 metara žice. Duljina vrta treba biti 3 metra veća od širine. Koje su dimenzije vrta i kolika je njegova površina?

Korak 1. Označimo nepoznanicu

• Širinu vrta označimo s x
• Duljina vrta je x + 3 (jer je 3 m veća od širine)

Korak 2. Postavimo jednadžbu

Žica duljine 36 m = Opseg pravokutnika

Opseg = 2 · širina + 2 · duljina

36 = 2 · x + 2 · (x + 3)

Korak 3. Riješimo jednadžbu

36 = 2x + 2(x + 3)

36 = 2x + 2x + 6

36 = 4x + 6

36 – 6 = 4x

30 = 4x

x = 30 ÷ 4

x = 7,5

Korak 4. Izračunajmo duljinu

Duljina = x + 3 = 7,5 + 3 = 10,5 m

Korak 5. Izračunajmo površinu

Površina = širina · duljina

Površina = 7,5 · 10,5

Površina = 78,75 m²

Provjera:

Opseg = 2 · 7,5 + 2 · 10,5 = 15 + 21 = 36 m ✓

Odgovor: Širina vrta je 7,5 m, duljina je 10,5 m, a površina vrta iznosi 78,75 m².

---

Objašnjenje 4. Zadatak s razlomcima

Četvrtina broja uvećana za 7 jednaka je polovici toga broja umanjenoj za 3. Koji je to broj?

Korak 1. Nepoznati broj označimo s x

Korak 2. Prevedimo tekst u jednadžbu

"Četvrtina broja uvećana za 7" = "polovici broja umanjenoj za 3"

(1/4)x + 7 = (1/2)x – 3

Korak 3. Riješimo jednadžbu

Pronađemo NZV nazivnika 4 i 2 → NZV(4, 2) = 4

(1/4)x + 7 = (1/2)x – 3 $\textcolor{green}{/· 4}$

4 · (1/4)x + 4 · 7 = 4 · (1/2)x – 4 · 3

x + 28 = 2x – 12

x – 2x = –12 – 28

–x = –40

x = 40

Provjera:

• Lijeva strana: (1/4) · 40 + 7 = 10 + 7 = 17
• Desna strana: (1/2) · 40 – 3 = 20 – 3 = 17

17 = 17 ✓

Odgovor: Traženi broj je 40.