Linearna ovisnost
Uvod
Vrlo često u svakodnevnome životu susrećemo veličine koje ovise jedna o drugoj. Neke od tih ovisnosti možemo opisati formulom linearne ovisnosti. Na primjer, ukupna masa koju prikazuje vaga ovisi o broju čokolada jednakih masa koje važemo.
Proporcionalna ovisnost
Ako je veličina y proporcionalna veličini x, s koeficijentom proporcionalnosti k, onda znamo da y ovisi o x tako da je:
y = k · x
Tada za svaku po volji odabranu vrijednost veličine x možemo izračunati vrijednost veličine y uz pomoć dane formule.
Linearna ovisnost - Definicija
Formule y = 9 · x i y = 9 · x + 1 opisuju linearnu ovisnost veličine y o veličini x.
Definicija: Veličina y linearno ovisi o veličini x, ako su njihove vrijednosti povezane formulom:
y = a · x + b
Broj a naziva se LINEARNI KOEFICIJENT, a broj b SLOBODNI KOEFICIJENT te linearne ovisnosti.
Nezavisna i zavisna veličina
| Veličina | Oznaka | Objašnjenje |
|---|---|---|
| Nezavisna veličina | x | Vrijednost x može biti bilo koji broj pa se zato x naziva nezavisna veličina |
| Zavisna veličina | y | Vrijednost y zavisi o izboru vrijednosti x pa se zato y naziva zavisna veličina |
Objašnjenje 1. Najam bicikla
Najam bicikla u turističkom mjestu košta 2 € po satu.
a) Opiši formulom ovisnost troška y koji treba platiti za x sati najma bicikla.
Korak 1. Ovisnost troška o broju sati. Napravimo tablicu i napišemo vrijednosti.
Korak 2. Uočimo pravilnost.
Za 1 sat: 2 · 1 = 2 €
Za 2 sata: 2 · 2 = 4 €
Za 3 sata: 2 · 3 = 6 €
Korak 3. Zapišimo formulu.
y = 2 · x
Ovo je proporcionalna ovisnost jer je slobodni koeficijent b = 0.
b) Koliki je trošak ako uz najam bicikla treba platiti i kacigu koja se naplaćuje jednokratno 1,50 €?
Korak 1. Sada uz svaki najam moramo platiti i kacigu koja košta 1,50 €.
Korak 2. Napravi tablicu i upiši vrijednosti.
Korak 3. Uočimo pravilnost.
Za 1 sat: 2 · 1 + 1,50 = 3,50 €
Za 2 sata: 2 · 2 + 1,50 = 5,50 €
Za 3 sata: 2 · 3 + 1,50 = 7,50 €
Korak 4. Zapišimo formulu.
y = 2 · x + 1,50
Ovo je linearna ovisnost oblika y = a · x + b, gdje je:
- a = 2 → linearni koeficijent (cijena po satu)
- b = 1,50 → slobodni koeficijent (cijena kacige)
c) Koliko će Ana platiti ako vozi bicikl 3 sata?
Korak 1. Koristimo formulu y = 2 · x + 1,50.
Korak 2. Uvrstimo x = 3.
y = 2 · 3 + 1,50
y = 6 + 1,50
y = 7,50 €
Ana će platiti 7,50 € za 3 sata vožnje bicikla s kacigom.
Objašnjenje 2. Mobilna tarifa
Mobilna tarifa "Student" ima mjesečnu pretplatu 4 €, a svaka minuta razgovora naplaćuje se 0,07 €.
a) Opiši formulom ovisnost mjesečnog troška y o broju minuta razgovora x.
Korak 1. Identificiramo veličine.
- Fiksni trošak (pretplata): 4 € → slobodni koeficijent b
- Cijena po minuti: 0,07 € → linearni koeficijent a
Korak 2. Zapišimo formulu.
y = 0,07 · x + 4
b) Koliki je mjesečni trošak ako student razgovara 120 minuta?
Uvrstimo x = 120 u formulu.
y = 0,07 · 120 + 4
y = 8,40 + 4
y = 12,40 €
Mjesečni trošak za 120 minuta razgovora je 12,40 €.
c) Koliko minuta je student razgovarao ako mu je račun 10 €?
Korak 1. Znamo da je y = 10 €. Trebamo naći x.
10 = 0,07 · x + 4
Korak 2. Riješimo jednadžbu.
10 − 4 = 0,07 · x
6 = 0,07 · x
x = 6 : 0,07
x ≈ 85,7 minuta
Student je razgovarao približno 86 minuta.
Objašnjenje 3. Računanje nezavisne veličine
Zadana je linearna ovisnost y = 3x + 7. Izračunaj vrijednost nezavisne veličine x, ako je vrijednost zavisne veličine y = 22.
Rješenje
Korak 1. Zapišemo jednadžbu.
3x + 7 = 22
Korak 2. Prebacimo slobodni koeficijent na desnu stranu.
3x = 22 − 7
3x = 15
Korak 3. Podijelimo obje strane s linearnim koeficijentom.
x = 15 : 3
x = 5
Dakle za x = 5 veličina y = 3x + 7 poprima vrijednost 22.
Zadaci za vježbu
Zadatak 1.
Električni romobil u gradu može se iznajmiti po cijeni od 0,25 € po minuti, uz jednokratnu naknadu za otključavanje od 1 €.
a) Napiši formulu za cijenu y u ovisnosti o broju minuta vožnje x.
b) Koliko košta vožnja od 20 minuta?
c) Koliko minuta možeš voziti romobil ako imaš 8 €?
Zadatak 2.
Streaming platforma nudi pretplatu od 8 € mjesečno, a svaki film koji nije uključen u pretplatu košta dodatnih 2,50 €.
a) Napiši formulu za mjesečni trošak y ako korisnik pogleda x dodatnih filmova.
b) Koliki je mjesečni trošak ako korisnik pogleda 4 dodatna filma?
c) Koliko dodatnih filmova je korisnik pogledao ako mu je račun 23 €?
Zadatak 3.
Parking u centru grada naplaćuje se 0,50 € za svaki započeti sat, uz jednokratnu naknadu od 0,80 € za izlaznu karticu.
a) Napiši formulu za cijenu parkiranja y u ovisnosti o broju sati x.
b) Koliko košta parkiranje od 5 sati?
c) Auto je bio parkiran, a vozač je platio 4,80 €. Koliko sati je auto bio parkiran?
Zadatak 4.
a) Zadana je linearna ovisnost y = 4x − 7. Izračunaj vrijednost nezavisne veličine x, ako je vrijednost zavisne veličine y = 29.
b) Zadana je linearna ovisnost y = 1,5x + 12. Izračunaj vrijednost nezavisne veličine x, ako je vrijednost zavisne veličine y = 30.
c) Zadana je linearna ovisnost y = 0,5x − 3. Izračunaj vrijednost nezavisne veličine x, ako je vrijednost zavisne veličine y = 17.
Rješenja
Zadatak 1.
a) y = 0,25 · x + 1
b) y = 0,25 · 20 + 1 = 5 + 1 = 6 €
c) 8 = 0,25 · x + 1 → 7 = 0,25 · x → x = 28 minuta
Zadatak 2.
a) y = 2,50 · x + 8
b) y = 2,50 · 4 + 8 = 10 + 8 = 18 €
c) 23 = 2,50 · x + 8 → 15 = 2,50 · x → x = 6 dodatnih filmova
Zadatak 3.
a) y = 0,50 · x + 0,80
b) y = 0,50 · 5 + 0,80 = 2,50 + 0,80 = 3,30 €
c) 4,80 = 0,50 · x + 0,80 → 4 = 0,50 · x → x = 8 sati
Zadatak 4.
a) 4x − 7 = 29 → 4x = 36 → x = 9
b) 1,5x + 12 = 30 → 1,5x = 18 → x = 12
c) 0,5x − 3 = 17 → 0,5x = 20 → x = 40
