linearna funkcijagraf linearne funkcijenagib pravcaodsječak na osi ykoeficijent smjerajednadžba pravca
Matura 2025·Zad. 33Podijeli zadatak
Što je linearna funkcija i kako nacrtati njezin graf?
Postoje različite vrste funkcija: linearne, eksponencijalne, kvadratne, logaritamske... Najjednostavnije su linearne funkcije. Linearna funkcija polinom je prvoga stupnja.
Ako ulaznu vrijednost označimo s x, a izlaznu s y, linearna je funkcija oblika:
y = kx + l
gdje su k i l zadani realni brojevi i k ≠ 0.
Realne brojeve k i l zovemo koeficijentima: k je linearni, a l slobodni koeficijent.
Možemo pisati f(x) = kx + l i onda je y = f(x).
Ako u koordinatni sustav ucrtamo sve točke (x, y) kojima je apscisa ulazna vrijednost (nezavisna varijabla), a ordinata izlazna vrijednost (zavisna varijabla) neke funkcije, dobit ćemo graf te funkcije.
Linearna funkcija zadana je jednadžbom y = kx + l.
Ako u jednadžbu uvrstimo x = 0, dobivamo y = l, a za x = 1 dobivamo y = k + l.
Dobili smo dvije točke grafa linearne funkcije: (0, l) i (1, k + l).
Pravac povučen kroz te dvije točke čini graf linearne funkcije y = kx + l.
Graf linearne funkcije jest pravac čija je jednadžba y = kx + l.
Dovoljno je odrediti dvije točke grafa. Najlakše je uvrstiti x = 0 i još jednu vrijednost x, izračunati odgovarajuće y-vrijednosti, ucrtati točke u koordinatni sustav i povući pravac kroz njih.
Primjer: Nacrtaj graf linearne funkcije y = 2/3 · x − 1.
Odredimo dvije točke:
| x | 0 | 3 |
|---|---|---|
| y | −1 | 1 |
Ucrtamo ih u koordinatni sustav i povučemo pravac.
Vrijednost x = x₀ je nultočka funkcije y = f(x) ako je f(x₀) = 0.
Graf y = f(x) siječe os x u točki (x₀, 0).
Kako naći nultočku? Uvrstimo y = 0 u jednadžbu i riješimo po x.
Primjer: Odredi nultočku funkcije y = x + 1.
Uvrstimo y = 0: 0 = x + 1, pa je x = −1. Nultočka je −1.
Gdje graf siječe os ? Pronađi za koji je .
Vidjeli smo da je graf linearne funkcije y = kx + l pravac. Linearni koeficijent k određuje nagib toga pravca pa ga zato zovemo nagib ili koeficijent smjera.
Ovisno o predznaku koeficijenta smjera k, pravac može biti:
Slobodni koeficijent l određuje odsječak pravca na osi y pa ga zato zovemo odsječkom na osi y.
To je vrijednost y u točki gdje pravac sijece os y, odnosno vrijednost funkcije za x = 0.
Promijeni za rotaciju pravca, zatim za pomak gore/dolje. Promatraj kako trokut nagiba ostaje isti na svim paralelnim pravcima.
Dovoljno je odrediti dvije točke. Najlakše je:
Primjer: Nacrtaj pravac zadan jednadžbom y = 2x − 3/2.
Odsječak je l = −3/2. Za x = 1 izračunamo y = 1/2. Nacrtamo pravac koji sijece os y u −3/2 i prolazi točkom (1, 1/2).
Zadana je jednadžba . Tapni dvije točke na mreži i povuci pravac kroz njih.
Prepoznaj i nacrtaj posebne slučajeve pravaca: (horizontalni) i (vertikalni).
Jednadžba pravca je oblika y = kx + l.
Korak 1: Očitaj odsječak l — vrijednost y u točki gdje pravac sijece os y.
Korak 2: Odredi koeficijent smjera k — odaberi jednu točku pravca (x, y) i uvrsti u y = kx + l, pa izrazi k.
Primjer a) Pravac prolazi točkom (2, 5) i odsječak je l = 2.
Uvrstimo u y = kx + l: 5 = k · 2 + 2, pa je k = 3/2.
Tražena jednadžba je y = 3/2 · x + 2.
Primjer b) Ako ne možemo precizno očitati l, uočimo dvije istaknute točke, npr. (2, 0) i (−1, 4), i uvrstimo njihove koordinate u y = kx + l. Dobivamo sustav:
Od prve jednadžbe oduzmemo drugu: −4 = 3k, pa je k = −4/3.
Uvrstimo k u jednu od jednadžbi i dobijemo l = 8/3.
Tražena jednadžba je y = −4/3 · x + 8/3.
Prikazan je pravac s dvije istaknute točke. Odredi koeficijent smjera i odsječak .
Zadane su dvije točke na grafu. Odredi jednadžbu pravca korak po korak: izračunaj , uvrsti za , zapiši jednadžbu.