Linearna funkcija: Objašnjenje i primjeri

Što je linearna funkcija?

Postoje različite vrste funkcija: linearne, eksponencijalne, kvadratne, logaritamske... Najjednostavnije su linearne funkcije. Linearna funkcija polinom je prvoga stupnja.

Ako ulaznu vrijednost označimo s $x$, a izlaznu s $y$, linearna je funkcija oblika:

$y = kx + l$

gdje su $k$ i $l$ zadani realni brojevi i $k \neq 0$.

Realne brojeve $k$ i $l$ zovemo koeficijentima: $k$ je linearni, a $l$ slobodni koeficijent.

Možemo pisati $f(x) = kx + l$ i onda je $y = f(x)$.

---

Graf linearne funkcije

Ako u koordinatni sustav ucrtamo sve točke $(x, y)$ kojima je apscisa ulazna vrijednost (nezavisna varijabla), a ordinata izlazna vrijednost (zavisna varijabla) neke funkcije, dobit ćemo graf te funkcije.

Linearna funkcija zadana je jednadžbom $y = kx + l$.

Ako u jednadžbu uvrstimo $x = 0$, dobivamo $y = l$, a za $x = 1$ dobivamo $y = k + l$.

Dobili smo dvije točke grafa linearne funkcije: $(0, l)$ i $(1, k + l)$.

Pravac povučen kroz te dvije točke čini graf linearne funkcije $y = kx + l$.

Graf linearne funkcije jest pravac čija je jednadžba $y = kx + l$.

Istraži koeficijente $k$ i $l$

Popuni tablicu i nacrtaj graf

---

Kako nacrtati graf linearne funkcije?

Dovoljno je odrediti dvije točke grafa. Najlakše je uvrstiti $x = 0$ i još jednu vrijednost $x$, izračunati odgovarajuće $y$-vrijednosti, ucrtati točke u koordinatni sustav i povući pravac kroz njih.

Primjer: Nacrtaj graf linearne funkcije $y = \frac{2}{3}x - 1$.

Odredimo dvije točke:

$x$	$0$	$3$
$y$	$-1$	$1$

Ucrtamo ih u koordinatni sustav i povučemo pravac.

---

Nultočka linearne funkcije

Vrijednost $x = x_0$ je nultočka funkcije $y = f(x)$ ako je $f(x_0) = 0$.

Graf $y = f(x)$ siječe os $x$ u točki $(x_0, 0)$.

Kako naći nultočku? Uvrstimo $y = 0$ u jednadžbu i riješimo po $x$.

Primjer: Odredi nultočku funkcije $y = x + 1$.

Uvrstimo $y = 0$: $0 = x + 1$, pa je $x = -1$. Nultočka je $-1$.

Pronađi nultočku na grafu

Gdje graf siječe os $x$? Pronađi $x_0$ za koji je $f(x_0) = 0$.

---

Pravac i njegova jednadžba

Vidjeli smo da je graf linearne funkcije $y = kx + l$ pravac. Linearni koeficijent $k$ određuje nagib toga pravca pa ga zato zovemo nagib ili koeficijent smjera.

---

Koeficijent smjera $k$

Ovisno o predznaku koeficijenta smjera $k$, pravac može biti:

• $k > 0$ — nagib je pozitivan, pravac raste (ide od dolje lijevo prema gore desno)
• $k < 0$ — nagib je negativan, pravac pada (ide od gore lijevo prema dolje desno)
• $k = 0$ — pravac nema nagiba, funkcija je konstantna $y = l$ (horizontalni pravac)

---

Slobodni koeficijent $l$

Slobodni koeficijent $l$ određuje odsječak pravca na osi $y$ pa ga zato zovemo odsječkom na osi $y$.

To je vrijednost $y$ u točki gdje pravac sijece os $y$, odnosno vrijednost funkcije za $x = 0$.

Nagib i pomak — kako $k$ i $l$ oblikuju pravac?

Promijeni $k$ za rotaciju pravca, zatim $l$ za pomak gore/dolje. Promatraj kako trokut nagiba ostaje isti na svim paralelnim pravcima.

---

Kako nacrtati pravac?

Dovoljno je odrediti dvije točke. Najlakše je:

1. Uvrstiti $x = 0$ → dobivamo točku $(0, l)$
2. Odabrati još jednu vrijednost $x$, uvrstiti u jednadžbu i izračunati $y$
3. Ucrtati obje točke i povući pravac kroz njih

Primjer: Nacrtaj pravac zadan jednadžbom $y = 2x - \frac{3}{2}$.

Odsječak je $l = -\frac{3}{2}$. Za $x = 1$ izračunamo $y = \frac{1}{2}$. Nacrtamo pravac koji sijece os $y$ u $-\frac{3}{2}$ i prolazi točkom $(1, \frac{1}{2})$.

Nacrtaj pravac po jednadžbi

Zadana je jednadžba $y = kx + l$. Tapni dvije točke na mreži i povuci pravac kroz njih.

---

Posebni slučajevi pravaca

• $y - 4 = 0$, odnosno $y = 4$ — pravac je paralelan s osi $x$ i sijece os $y$ u $y = 4$
• $2x - 5 = 0$, odnosno $x = \frac{5}{2}$ — pravac je paralelan s osi $y$ i sijece os $x$ u $x = \frac{5}{2}$

Horizontalni i vertikalni pravci

Prepoznaj i nacrtaj posebne slučajeve pravaca: $y = c$ (horizontalni) i $x = c$ (vertikalni).

---

Kako odrediti jednadžbu pravca s grafa?

Jednadžba pravca je oblika $y = kx + l$.

Korak 1: Očitaj odsječak $l$ — vrijednost $y$ u točki gdje pravac sijece os $y$.

Korak 2: Odredi koeficijent smjera $k$ — odaberi jednu točku pravca $(x, y)$ i uvrsti u $y = kx + l$, pa izrazi $k$.

Primjer a) Pravac prolazi točkom $(2, 5)$ i odsječak je $l = 2$.

Uvrstimo u $y = kx + l$: $5 = k \cdot 2 + 2$, pa je $k = \frac{3}{2}$.

Tražena jednadžba je $y = \frac{3}{2}x + 2$.

Primjer b) Ako ne možemo precizno očitati $l$, uočimo dvije istaknute točke, npr. $(2, 0)$ i $(-1, 4)$, i uvrstimo njihove koordinate u $y = kx + l$. Dobivamo sustav:

• $0 = k \cdot 2 + l$
• $4 = k \cdot (-1) + l$

Od prve jednadžbe oduzmemo drugu: $-4 = 3k$, pa je $k = -\frac{4}{3}$.

Uvrstimo $k$ u jednu od jednadžbi i dobijemo $l = \frac{8}{3}$.

Tražena jednadžba je $y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3}$.

Odredi jednadžbu pravca s grafa

Prikazan je pravac s dvije istaknute točke. Odredi koeficijent smjera $k$ i odsječak $l$.

Izračunaj jednadžbu pravca kroz dvije točke

Zadane su dvije točke na grafu. Odredi jednadžbu pravca korak po korak: izračunaj $k$, uvrsti za $l$, zapiši jednadžbu.

Pravci paralelni s koordinatnim osima

Pravac paralelan s osi $x$ ima jednadžbu oblika $y = l$, gdje je $l$ konstanta.

Pravac paralelan s osi $y$ ima jednadžbu oblika $x = a$, gdje je $a$ konstanta.

Pravac paralelan s osi $y$ nije graf linearne funkcije — nema nagib ni odsječak na osi $y$.

Istraži: pravac $y = c$

Povuci točku lijevo-desno po pravcu. U tablici se zapisuju koordinate — npr. $(-3, 1)$, $(0, 1)$, $(2, 1)$... Što primjećuješ?

Sliderom $c$ pomakni pravac gore ili dolje. Jednadžba $y = c$ se ažurira uživo. Postavi $c = 0$ — pravac se spoji s osi $x$.

Istraži: pravac $x = c$

Povuci točku gore-dolje po pravcu. U tablici se zapisuju koordinate — npr. $(2, -3)$, $(2, 0)$, $(2, 4)$... Što primjećuješ? $x$ nikad ne mijenja vrijednost.

$x$ je zaključan na 2 — pravac $x = c$ je vertikalan, ne horizontalan.

Sliderom $c$ pomakni pravac lijevo-desno. Jednadžba $x = c$ se ažurira uživo. Postavi $c = 0$ — pravac se spoji s osi $y$.

Vertikalni pravac $x = c$ nije funkcija — za istu vrijednost $x$ postoji beskonačno mnogo vrijednosti $y$.

---

Primjena linearne funkcije

Linearna funkcija $y = kx + l$ pojavljuje se u mnogim stvarnim situacijama gdje se dvije veličine mijenjaju proporcionalno ili linearno.

Ključne veze

• Nagib $k$ opisuje brzinu promjene — koliko se $y$ mijenja kad se $x$ poveća za 1.
• Odsječak $l$ opisuje početnu vrijednost — vrijednost od $y$ kada je $x = 0$.
• Veći nagib → strmiji graf → brža promjena.

Primjeri primjene

Sjene i svjetlost — visina sjene raste linearno s udaljenošću od izvora svjetlosti. Zraka svjetlosti koja prolazi vrhom predmeta opisuje pravac oblika $y = kx$.

Krema za sunčanje — maksimalno dopušteno vrijeme boravka na suncu sa zaštitom računa se formulom:

$t_{sz} = t_{bz} \cdot ZF$

gdje je $t_{bz}$ maksimalno vrijeme bez zaštite, a $ZF$ zaštitni faktor.

Broj cipele — u većini europskih zemalja broj cipele određuje se funkcijom $B = x + 14$, gdje je $x$ duljina stopala u centimetrima.

Rasporedi i vremena — linearna funkcija opisuje kašnjenje, trajanje izlaska ili bilo koji proces koji teče jednakomjerno u vremenu.

Istraži primjenu linearne funkcije

Kako čitati graf linearne funkcije u primjeni

• Pravac s manjim nagibom → sporiji rast (npr. manji zaštitni faktor).
• Pravac s većim nagibom → brži rast (npr. veći zaštitni faktor).
• Sjecišta pravaca → trenutak kad su dvije veličine jednake.
• Osjenčano područje na grafu → dopušteni raspon vrijednosti.