Koordinatni sustav

Što je koordinatni sustav?

Pravokutni (Kartezijev) koordinatni sustav u ravnini sastoji se od dviju okomitih brojevnih pravaca koje se sijeku u točki koju nazivamo ishodište i označavamo s $O$ .

Os $x$ (apscisa) — vodoravni brojevni pravac
Os $y$ (ordinata) — okomiti brojevni pravac
Ishodište $O(0, 0)$ — sjecište dviju osi

Svaka točka u ravnini jednoznačno je određena uređenim parom brojeva $(x, y)$ , koji nazivamo koordinatama te točke.

Koordinate točke: $A(x, y)$ znači da je $x$ udaljenost od osi $y$ (lijevo-desno), a $y$ udaljenost od osi $x$ (gore-dolje).

Isprobaj na interaktivnom grafu

Klikni na bilo koju označenu točku — animacija će ti pokazati kako se čitaju koordinate korak po korak.

Kako ucrtati točku u koordinatni sustav?

Zadana je točka, npr. $T(3, -2)$ . Da bismo je ucrtali:

Korak 1. Od ishodišta idemo 3 koraka udesno po osi $x$ (jer $x = 3$ ).

Korak 2. Zatim idemo 2 koraka dolje po osi $y$ (jer $y = -2$ ).

Korak 3. Označimo točku na tom mjestu.

Česta greška: Zamjena $x$ i $y$ koordinata! Uvijek prvo brojiš po osi $x$ (lijevo-desno), pa tek onda po osi $y$ (gore-dolje).

Vježbaj ucrtavanje

Ucrtaj zadane točke klikom na mrežu — widget će animirati provjeru tvog odgovora.

Četiri kvadranta

Osi $x$ i $y$ dijele ravninu na četiri dijela koje nazivamo kvadrantima:

Kvadrant	Položaj	Predznaci koordinata
I. kvadrant	gore desno	$x > 0$ , $y > 0$
II. kvadrant	gore lijevo	$x < 0$ , $y > 0$
III. kvadrant	dolje lijevo	$x < 0$ , $y < 0$
IV. kvadrant	dolje desno	$x > 0$ , $y < 0$

Napomena: Točke koje leže na osima ne pripadaju nijednom kvadrantu.

Objašnjenje 2.

Odredi u kojem se kvadrantu nalaze sljedeće točke:

$A(2, 5)$ — obje koordinate pozitivne → I. kvadrant
$B(-3, 7)$ — $x < 0$ , $y > 0$ → II. kvadrant
$C(-1, -4)$ — obje koordinate negativne → III. kvadrant
$D(6, -2)$ — $x > 0$ , $y < 0$ → IV. kvadrant
$E(0, 3)$ — leži na osi $y$ → ne pripada nijednom kvadrantu

Vježbaj određivanje kvadranata

Udaljenost između dviju točaka na istom pravcu

Kada dvije točke leže na istom vodoravnom ili istom okomitom pravcu, udaljenost između njih računamo jednostavno:

Točke na istoj vodoravnoj liniji (isti $y$ )

$d = |x_2 - x_1|$

Točke na istoj okomitoj liniji (isti $x$ )

$d = |y_2 - y_1|$

Objašnjenje 3.

a) Izračunaj udaljenost između točaka $A(2, 3)$ i $B(7, 3)$ .

Točke imaju isti $y = 3$ , pa leže na istoj vodoravnoj liniji:

$d = |7 - 2| = |5| = 5$

b) Izračunaj udaljenost između točaka $C(-1, 4)$ i $D(-1, -3)$ .

Točke imaju isti $x = -1$ , pa leže na istoj okomitoj liniji:

$d = |-3 - 4| = |-7| = 7$

Ucrtavanje točaka iz tablice

Često su točke zadane tablicom vrijednosti. Svaki par $(x, y)$ iz tablice ucrtamo kao jednu točku.

Objašnjenje 4.

Ucrtaj točke zadane tablicom:

$x$	$-3$	$-1$	$0$	$2$	$4$
$y$	$4$	$0$	$-2$	$1$	$3$

Ucrtavamo redom: $(-3, 4)$ , $(-1, 0)$ , $(0, -2)$ , $(2, 1)$ , $(4, 3)$ .

Skupovi točaka u koordinatnoj ravnini

Ponekad nas zanima: gdje se nalaze sve točke koje zadovoljavaju određeni uvjet?

Na primjer, pitanje "Gdje se nalaze točke kojima je $x > 4$ ?" opisuje cijelo područje — sve točke desno od vertikalnog pravca $x = 4$ .

Povlači granicu na interaktivnom grafu i promatraj kako se osjenčano područje mijenja:

Pojam funkcije

Funkcija je pravilo koje svakom elementu jednog skupa pridružuje točno jedan element drugog skupa.

Zapisujemo:

$f \colon A \to B, \quad x \mapsto y = f(x)$

$A$ — domena (skup na kojem je funkcija definirana)
$B$ — kodomena
$x$ — nezavisna varijabla (argument)
$f(x)$ — zavisna varijabla (vrijednost funkcije)

Ključno svojstvo: Za svaki $x$ iz domene postoji jedan i samo jedan $y$ . Ako jednom $x$ odgovaraju dva različita $y$ -a, to nije funkcija.

Kako prepoznati funkciju na grafu?

Koristimo test okomitog pravca: ako svaka okomita crta siječe graf u najviše jednoj točki, graf prikazuje funkciju.

Zapisivanje funkcije

Funkciju možemo zapisati na više načina:

1. Jednadžbom (formulom)

Najčešći zapis — eksplicitna formula koja za svaki $x$ daje vrijednost $y$ :

$y = 2x + 3 \qquad y = x^2 - 1 \qquad y = \frac{1}{x}$

2. Tablicom

Parovi $(x, y)$ zapisani su u tablicu:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-1$	$1$	$3$	$5$	$7$

3. Grafom

Svaki par $(x, y)$ ucrtamo kao točku u koordinatni sustav i povežemo ih krivuljom.

4. Dijagramom (strelicama)

Strelicama prikazujemo koja se vrijednost iz domene pridružuje kojoj vrijednosti u kodomeni.

Savjet: Sva četiri zapisa opisuju istu funkciju — samo na različite načine. Važno je znati prelaziti iz jednog zapisa u drugi.

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Ucrtaj u koordinatni sustav sljedeće točke:

$A(4, 3)$ , $B(-2, 5)$ , $C(-3, -1)$ , $D(1, -4)$ , $E(0, 2)$ , $F(-5, 0)$

Zadatak 2.

Odredi u kojem se kvadrantu nalazi svaka od sljedećih točaka:

a) $P(7, -3)$

b) $Q(-2, -8)$

c) $R(-4, 6)$

d) $S(1, 9)$

Zadatak 3.

Izračunaj udaljenost između sljedećih parova točaka:

a) $A(1, 5)$ i $B(8, 5)$

b) $C(3, -2)$ i $D(3, 6)$

c) $E(-4, 1)$ i $F(2, 1)$

Zadatak 4.

Ucrtaj točke zadane tablicom u koordinatni sustav:

$x$	$-4$	$-2$	$0$	$1$	$3$	$5$
$y$	$-1$	$3$	$5$	$4$	$0$	$-2$

Rješenja

Zadatak 2.

a) $P(7, -3)$ — $x > 0$ , $y < 0$ → IV. kvadrant

b) $Q(-2, -8)$ — $x < 0$ , $y < 0$ → III. kvadrant

c) $R(-4, 6)$ — $x < 0$ , $y > 0$ → II. kvadrant

d) $S(1, 9)$ — $x > 0$ , $y > 0$ → I. kvadrant

Zadatak 3.

a) $d = |8 - 1| = 7$

b) $d = |6 - (-2)| = |6 + 2| = 8$

c) $d = |2 - (-4)| = |2 + 4| = 6$

Povezane lekcije

Povezane lekcije

Koordinatni sustav

Što je koordinatni sustav?

Isprobaj na interaktivnom grafu

Kako ucrtati točku u koordinatni sustav?

Vježbaj ucrtavanje

Četiri kvadranta

Objašnjenje 2.

Vježbaj određivanje kvadranata

Udaljenost između dviju točaka na istom pravcu

Točke na istoj vodoravnoj liniji (isti $y$ )

Točke na istoj okomitoj liniji (isti $x$ )

Objašnjenje 3.

Ucrtavanje točaka iz tablice

Objašnjenje 4.

Skupovi točaka u koordinatnoj ravnini

Pojam funkcije

Kako prepoznati funkciju na grafu?

Zapisivanje funkcije

1. Jednadžbom (formulom)

2. Tablicom

3. Grafom

4. Dijagramom (strelicama)

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Rješenja

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Povezane lekcije

Povezane lekcije

Koordinatni sustav

Što je koordinatni sustav?

Isprobaj na interaktivnom grafu

Kako ucrtati točku u koordinatni sustav?

Vježbaj ucrtavanje

Četiri kvadranta

Objašnjenje 2.

Vježbaj određivanje kvadranata

Udaljenost između dviju točaka na istom pravcu

Točke na istoj vodoravnoj liniji (isti yyy)

Točke na istoj okomitoj liniji (isti xxx)

Objašnjenje 3.

Ucrtavanje točaka iz tablice

Objašnjenje 4.

Skupovi točaka u koordinatnoj ravnini

Pojam funkcije

Kako prepoznati funkciju na grafu?

Zapisivanje funkcije

1. Jednadžbom (formulom)

2. Tablicom

3. Grafom

4. Dijagramom (strelicama)

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Rješenja

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Točke na istoj vodoravnoj liniji (isti $y$ )

Točke na istoj okomitoj liniji (isti $x$ )